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江西财经大学统计学院《数学分析》课程介绍
一、 课程信息
《数学分析上》课程代码：06266 课时数：224 学分：12
二、 授课老师
统计学院数理统计系教师
三、 课程简介
《数学分析》课程是一门面向数学类专业的基础课。学好数学分析是学好其他后继数学课程如微分方程、实变函数与泛函分析、概率论与数理统计等课的必备的基础。
作为数学系最重要的基础课之一，数学科学的逻辑性和历史继承性决定了数学分析在数学科学中举足轻重的地位，数学的许多新思想，新应用都源于这坚实的基础。数学分析出于对微积分在理论体系上的严格化和精确化，从而确立了在整个自然科学中的基础地位，并运用于自然科学的各个领域。同时，数学研究的主体是经过抽象后的对象，数学的思考方式有鲜明的特色，包括抽象化，逻辑推理，最优分析，符号运算等。这些知识和能力的培养需要通过系统、扎实而严格的基础教育来实现，数学分析课程正是其中最重要的一个环节。
我们立足于培养数学基础扎实，知识面宽广，具有创新意识、开拓精神和应用能力，符合新世纪要求的优秀人才。从人才培养的角度来讲，一个学生能否学好数学，很大程度上决定于他进大学伊始能否将《数学分析》这门课真正学到手。
本课程的目标是通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。
四、 教学目的
要求学生较系统地理解数学分析的基本理论和基本方法。要求学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力，培养学生具备基本的运算技能；帮助学生培养、提高解题能力和技巧，并从中培养学生解决实际问题的能力。
五、 教材及参考文献
1、教材
⑴《数学分析（第二版）》（上、下册） 陈纪修，於崇华，金路编 高等教育出版社（2004）
2、参考书目
（1）《微积分与数学分析引论》，（美）R.柯朗，张鸿林 （译），科学出版社（1979）
（2）《高等数学引论》，华罗庚著 科学出版社（1964）
（3）《微积分学教程》，菲赫金哥尔兹编，北京大学高等数学教研室译， 人民教育出版社（1954）
（4）《数学分析习题集》，吉米多维奇编，李荣 译 高等教育出版社（1958）
（5）《数学分析原理》，卢丁著，赵慈庚，蒋铎译 高等教育出版社（1979）
（6）《数学分析》，陈传璋等编 高等教育出版社（1978）
（7）《数学分析》（上、下册），欧阳光中，朱学炎，秦曾复编， 上海科学技术出版社（1983）
（8）《数学分析》（第一、二、三卷），秦曾复，朱学炎编， 高等教育出版社（1991）
（9）《数学分析新讲》（第一、二、三册），张筑生编， 北京大学出版社（1990）
（10）《数学分析简明教程》（上、下册），邓东皋等编 高等教育出版社（1999）
（11）《数学分析》（第三版，上、下册），华东师范大学数学系， 高等教育出版社（2002）
（12）《数学分析教程》常庚哲，史济怀编， 江苏教育出版社（1998）
（13）《数学分析解题指南》林源渠，方企勤编， 北京大学出版社（2003）
（14）《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文编， 高等教育出版社（1993）
（15）《数学分析》，邹应 ，高等教育出版社（1990）
（16）《数学分析 》，周民强 ，上海科学技术出版社（2002）
（17）《数学分析习题演练》，周民强 ，科学出版社（2009）
（18）《数学分析题解精粹》，钱吉林 ，崇文书局（2003）
（19）《数学分析习题课讲义 》，谢惠民 ，高等教育出版社（2010-11）
（20） 《数学分析》，（俄）В.А.卓里奇，周美珂 （译）,高等教育出版社（2006)
六、 评分标准
数学分析考试采用闭卷笔试形式，满分为100分，其中平时成绩20%,期末80%; 期末考试时间为110分钟。
平时成绩：由任课教师根据学生的课堂纪律、考勤、课堂回答老师的提问、作业完成情况与质量等确定；
期末考试成绩：由教务处统一安排。
七、 授课计划
1、授课时数 224
2、教学进度安排
第零章 前言
数学分析的研究对象；数学分析发展史；数学分析课程的主要内容；数学分析与实变函数的关系；如何学好数学分析；教材和参考书目。
第一章 集合与映射
§1.1 集合
集合；集合的运算
有限集与无限集；笛卡儿乘积集合
§1.2 映射与函数
映射；一元实函数；初等函数；函数的分段，隐式表示与参数表示；函数的简单特性；两个常用不等式；
本章教学要求：理解集合的概念与映射的概念，掌握实数集合的表示法，函数的表示法与函数的一些基本性质。
第二章 数列极限
§2.1 实数系的连续性
实数系；最大数与最小数；上确界与下确界
§2.2 数列极限
数列与数列极限
数列极限的性质；数列极限的运算
§2.3 无穷大量
无穷大量；待定型
§2.4 收敛准则
单调有界数列收敛定理；π和e
闭区间套定理；子列；Bolzano-Weistrass定理；Cauchy收敛原理；实数系的基本定理；
本章教学要求：掌握数列极限的概念与定义，掌握并会应用数列的收敛准则，理解实数系具有连续性的分析意义，并掌握实数系的一系列基本定理。
第三章 函数极限与连续性
§3.1 函数极限
函数极限的定义；函数极限的性质；函数极限的四则运算
函数极限与数列极限的关系；单侧极限；函数极限定义的扩张
§3.2 连续函数
连续函数的定义；连续函数的四则运算；不连续点的类型；反函数连续性定理；复合函数连续性定理。
§3.3 无穷小量与无穷大量的阶 .
无穷小量的比较；无穷大量的比较；等价量
§3.4 闭区间上连续函数的性质
有界性定理；最值定理；零点存在定理；中间值定理；一致连续概念
本章教学要求：掌握函数极限的概念，函数极限与数列极限的关系，无穷小量与无穷大量阶的估计，闭区间上连续函数的基本性质。
第四章 微分
§4.1 微分和导数
微分概念的导出背景；微分的定义；微分和导数
§4.2 导数的意义和性质
导数产生的实际背景；导数的几何意义；单侧导数
§4.3 导数的四则运算和反函数求导法则
从定义出发求导数；求导的四则运算法则；反函数的求导法则
§4.4 复合函数求导法则及其应用
复合函数求导法则；一阶微分形式的不变性；隐函数求导与微分；复合函数求导的其他应用
§4.5 高阶导数和高阶微分
高阶导数的实际背景和意义
高阶导数的运算法则
高阶微分
本章教学要求：理解微分，导数，高阶微分与高阶导数的概念，性质及相互关系，熟练掌握求导与求微分的方法。
第五章 微分中值定理及其应用
§5.1 微分中值定理
函数极值与Fermat引理；Rolle定理 ；Lagrange中值定理 ；用Lagrange中值定理讨论函数的性质；Cauchy中值定理
待定型极限和L’Hospital法则 ；
§5.3 Taylor公式和插值多项式
带Peano余项的Taylor公式；带Lagrange余项的Taylor公式
§5.3 Taylor公式和插值多项式
插值多项式和余项；Lagrange插值多项式和Taylor公式；
§5.4 函数的Taylor公式及其应用
泰勒公式在近似计算中的应用；求极限；证明不等式；求曲线的渐进方程
§5.5 应用举例
极值问题；最值问题；数学建模；函数作图；复习
本章教学要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式，并应用于函数性质的研究，熟练运用L＇Hospital法则计算极限，熟练应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题。
第六章 不定积分
§6.1 不定积分的概念和运算法则
微分的逆运算——不定积分；不定积分的线性性质
§6.2 换元积分法和分部积分法
换元积分法；分部积分法；基本积分表
§6.3 有理函数的不定积分及其应用
有理函数的不定积分 ；可化成有理函数不定积分的情况
本章教学要求：掌握不定积分的概念与运算法则，熟练应用换元法和分部积分法求解不定积分，掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。
第七章 定积分
§7.1 定积分的概念和可积条件
定积分概念的导出背景 ；定积分的定义
Darboux和；Riemann可积的充分必要条件
§7.2 积分的基本性质
§7.3 微积分基本定理
从实例看微分与积分的联系 ；微积分基本定理 ；定积分的分部积分法和换元积分法；
§7.4 定积分在几何计算中的应用
求平面图形的面积；求曲线的弧长；求某些特殊几何体的体积；求旋转曲面的表面积；曲线的曲率
§7.5 微积分实际应用举例
微元法 ；简单数学模型和求解
本章教学要求：理解定积分的概念，牢固掌握微积分基本定理：牛顿—莱布尼兹公式，熟练定积分的计算，熟练运用微元法解决几何，物理与实际应用中的问题，初步掌握定积分的数值计算。
第八章 反常积分
§8.1 反常积分的概念和计算
反常积分；反常积分计算
§8.2 反常积分的收敛判别法
反常积分的Cauchy收敛原理；非负函数反常积分收敛判别法；一般函数反常积分收敛判别法；无界函数反常积分收敛判别法
本章教学要求：掌握反常积分的概念，熟练掌握反常积分的收敛判别法与反常积分的计算。
第九章 数项级数
§9.1数项级数的收敛性
数项级数;级数的基本性质
§9.2上级限与下极限
数列的上极限和下极限; 上极限和下极限的运算
§9.3正项级数
比较判别法;Gauchy判别法与d′Alembert判别法；Raabe判别法；积分判别法
§9.4任意项级数
任意项级数；Leibniz级数；Abel判别法与Diriechlet判别法；级数的绝对收敛与条件收敛；加法交换率；级数的乘法
§9.5无穷乘积
无穷乘积的定义；无穷乘积与级数
本章教学要求：掌握数项级数敛散性的概念，理解数列上级限与下极限的概念，熟练运用各种判别法判别正项级数，任意项级数与无穷乘积的敛散性。
第十章 函数项级数
§10.1函数项级数的一致收敛性
点态收敛；函数项级数的基本问题；函数项级数的一致收敛性
§10.2一致收敛级数的判别与性质
一致收敛的判别；一致收敛级数的性质；处处不可导的连续函数之例
§10.3幂级数
幂级数的收敛半径；幂级数的性质
§10.4函数的幂级数展开
Taylor公式与余项公式；初等函数的Taylor展开
§10.5用多项式逼近连续函数
本章教学要求：掌握函数项级数（函数序列）一致收敛性概念，一致收敛性的判别法与一致收敛级数的性质，掌握幂级数的性质，会熟练展开函数为幂级数，了解函数的幂级数展开的重要应用。
第十一章 Euclid空间上的极限和连续
§11.1 Euclid空间上的基本定理
Euclid空间上的距离与极限；开集与闭集；Euclid空间上的基本定理；紧集
§11.2多元连续函数
多元函数；多元函数的极限；累次极限；多元函数的连续性；向量值函数
§11.3连续函数的性质
紧集上的连续映射；连通集与连通集上的连续映射
本章教学要求：了解Euclid空间的拓扑性质，掌握多元函数的极限与连续性的概念，区分它们与一元函数对应概念之间的区别，掌握紧集上连续函数的性质。
第十二章 多元函数的微分学
§12.1偏导数与全微分
偏导数；方向导数；全微分；梯度；高阶偏导数；高阶微分；向量值函数的导数
§12.2 多元复合函数的求导法则
链式规则；一阶全微分形式的不变性
§12.3 中值定理和Taylor公式
§12.4 隐函数
单个方程的情形；多个方程的情形；逆映射定理
§12.5.偏导数在几何中的应用
空间曲线的切线和法平面；空间曲面的切平面和法线
§12.6无条件极值
§12.7条件极值问题与Lagrange乘数法
本章教学要求：掌握多元函数的偏导数与微分的概念，区分它们与一元函数对应概念之间的区别，熟练掌握多元函数与隐函数的求导方法，掌握偏导数在几何上的应用，掌握求多元函数无条件极值与条件极值的方法。
第十三章 重积分
§13.1有界闭区域上的重积分
面积；二重积分的概念；多重积分；peano曲线
§13.2重积分的性质与计算
重积分的性质；矩形区域上的重积分计算；一般区域上的重积分计算
§13.3重积分的变量代换
曲线坐标；二重积分的变量代换，变量代换公式的证明；n重积分的变量代换
§13.4反常重积分
无界区域上的反常积分；无界函数的反常积分
§13.5微分形式
有向面积与向量的外积；微分形式；微分形式的外积
本章教学要求：理解重积分的概念，掌握重积分与反常重积分的计算方法，会熟练应用变量代换法计算重积分，了解微分形式的引入在重积分变量代换的表示公式上的应用。
第十四章 曲线积分、曲面积分与场论
§14.1第一类曲线积分与第一类曲面积分
第一类曲线积分；曲面的面积；Schwarz的例子；第一类曲面积分
§14.2第二类曲线积分与第二类曲面积分
第二类曲线积分；曲面的侧；第二类曲面积分
§14.3 Green公式，Gauss公式和Stokes公式
§14.4微分形式的外微分
§14.5场论初步
本章教学要求：掌握二类曲线积分与二类曲面积分的概念与计算方法，掌握Green公式，Gauss公式和Stokes公式的意义与应用，理解外微分的引入在给出Green公式，Gauss公式和Stokes公式统一形式上的意义，对场论知识有一个初步的了解。
第十五章 含参变量积分
§15.1含参变量的常义积分
§15.2含参变量的反常积分
§15.3 Euler积分
本章教学要求：掌握含参变量常义积分的性质与计算，掌握含参变量反常积分一致收敛的概念，一致收敛的判别法，一致收敛反常积分的性质及其在积分计算中的应用，掌握Euler积分的计算。
第十六章 Fourier级数
§16.1函数的Fourier级数展开
§16.2 Fourier级数的收敛判别法
§16.3 Fourier级数的性质
§16.4 Fourier变换和Fourier积分
§16.5快速Fourier变换
本章教学要求：掌握周期函数的Fourier级数展开方法，掌握Fourier级数的收敛判别法与Fourier级数的性质，对Fourier变换与Fourier积分有一个初步的了解。
八、 先修课程
无
